Multivariable Grafische Techniken in Calculus

Grafik- Gleichungen hilft oft beleuchten wichtige Aspekte in der Mathematik und Analysis ist keine Ausnahme. Im einfachsten Fall können sowohl die Differenzierung und Integration durch Graphen ausgedrückt werden : Erstere kann durch folgende Änderungen in einer graphisch dargestellten Kurve ersichtlich ist, während die letztere quantifiziert die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse . Hinzufügen von mehreren Variablen noch wesentlich mehr Komplexität , aber die grafische Darstellung dieser multivariable Felder noch beweist, aufschlussreich. Skalar-und Vektorfelder

multivariable Kalkül , gibt es zwei Arten von Feldern : Skalar-und Vektor . Ein Skalarfeld ist eine reine Zahlenkonstrukt, ohne Gefühl für die Richtung oder Bewegung. Betrachten Sie beispielsweise eine Landschaft in eine dreidimensionale Karte der Größen , wobei die Zahlenwerte repräsentieren Höhenschichten zu einem bestimmten Zeitpunkt gemacht . Es ist beschreibend für eine statische Umstand.
Ein Vektorfeld von Vektoren anstelle von Punkten zusammengesetzt , so dass es sowohl die Größe und Richtung hat . Betrachten wir zum Beispiel eine graphische Darstellung der Magnetfelder um die Erde. Diese Felder sind niemals statisch . Pfeile werden , die aus dem magnetischen Nordpol, kreisen um den Globus und in die magnetische Südpol gezogen . Von Skalar-oder Vektorfelder kommen drei wichtige Operatoren: . Gradient, Divergenz und curl
Gradient

Der Gradient ist ein Vektorfeld zu einem skalaren Feld angelegt . Er bestimmt die Richtung, in die Größen ändern sich. Zum Beispiel , wobei die Steigung der für den Bau von topographischen Karte Ergebnisse einer hügeligen Landschaft in ein Vektorfeld , das aus wie oben auf dem ursprünglichen Feld liegend gedacht werden kann, verantwortlich Daten. Dieser Gradient Feld ist der Pfeile , die den Weg aus Tälern , einzelne Bergspitzen zeigen zusammen.
Divergence

Divergenz gilt für Vektorfelder , die Größe des zum Ausdruck Quelle oder Senke Punkte über dem Vektorfeld . Divergence letztlich überlagert ein Vektorfeld mit einer Zuordnung von positiven oder negativen Skalar -Messungen. Betrachten Sie beispielsweise das Magnetfeld Vektorfeld . Die Divergenz Operator Hauptquellen oder-senken an den magnetischen Polen zu zeigen und auch zeigen, Gebiete in der ganzen Welt, wo kleinere Senken und Quellen gefunden werden.
Locken

Locken kann um ein dreidimensionales Vektorfeld angelegt wird; sie misst unendlich Drehungen auf diesem Gebiet. Man betrachte beispielsweise ein Vektorfeld an die Gleichstromvon Wasser durch den Drain eines Spülbeckens . Die grafische Darstellung dieser Bewegung würde nicht eine einfache gerade Linie durch den Abfluss , da Wasser dreht sich wie ein Trichter um den Abfluss sich. Locken würde diese Drehung in der Form eines separaten Vektorfeld auszudrücken.