Wie man die Untergruppen von Zn Berechnen

Die zyklischen Gruppen sind eine Teilmenge aller Gruppen mit einer besonders einfach zu verstehen Struktur . Insbesondere können die cyclischen Gruppen durch einen Satz von Zahlen mit Modulo-Arithmetik dargestellt werden . Zum Beispiel kann Z15 durch die Zahlen 0 bis 14 ausgebildet werden , mit 16 = 1 , 17 = 2 und so weiter. Diese zyklischen Gruppen haben eine Mathematik alle ihre eigenen . Eine besonders interessante Frage, die tiefe Einblicke in Bachelor- Mathematikunterricht ergibt , ist das, was Teilmengen dieser Gruppen bilden sich Gruppen . Anweisungen
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Faktor die Reihenfolge Ihrer Gruppe. Zum Beispiel, wenn die Gruppe über 18 Elemente , ist seine Bestellung 18: 18 = 2 x 3 x 3. Wenn die Gruppe hat 30 Elemente , sein Auftrag ist 30: 2 x 3 x 5
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Bestimmen Sie alle möglichen Zahlen , die gleichmäßig in die Ordnung der Gruppe teilen kann , auf der Basis der Faktorisierung in Schritt 1 getan in einer Gruppe von 18 um , würde dies geben 2, 3 , 6 und 9. In einer Gruppe der Ordnung 30 , das gibt 2, 3 , 5, 6, 10 und 15.
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Verstehen, dass jede Untergruppe des zyklischen Gruppe muss in der Größenordnung von einem Faktor , um Ihre Hauptgruppe sein. Zum Beispiel muss für die zyklische Gruppe der Ordnung 18, eine echte Untergruppe einer Untergruppe --- oder , die größer als ein Element und kleiner als 18 Elemente ist --- der Ordnung 2 , 3, 6 oder 9 sein, da diese die nur Zahlen, die in 18 Faktor kann zusätzlich jede Untergruppe einer Untergruppe einer zyklischen Gruppe muss sich eine zyklische Gruppe sein.
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Finden Sie das kleinste Element von jeder der Zahlen in Schritt 2 gefunden. in der Gruppe der 18 , um unter Zugabe , 2 ist das kleinste Element der Ordnung 9 (seit 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18) , 3 ist das kleinste Element der Ordnung 6 (seit 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18) , 6 ist das kleinste Element der Ordnung 3 (seit 6 + 6 + 6 = 18 ) und 9 ist das kleinste Element der Ordnung 2 (seit 9 + 9 = 18) .
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Bestimmen Sie die von diesen Elementen gebildet Gruppen. In der zyklischen Gruppe der Ordnung 18 ist die durch 2 erzeugten Untergruppe der Gruppe {0 , 2, 4 , 6, 8 , 10, 12 , 14, 16} . Die durch 3 erzeugten Untergruppe ist die Gruppe {0, 3, 6, 9, 12, 15} , und die von 6 erzeugt ist {0 , 6, 12 } . Die zyklische Untergruppe der Ordnung 2 die Gruppe {0, 9} . Dank der Kombination von Eigenschaften in Schritt 3 beschrieben , gibt es immer genau eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe für jede Zahl, die gleichmäßig in die Ordnung der Gruppe teilen können .