Was ist die Divergenz eines Vektor Scalar
Vektorrechnung nimmt einen wichtigen Platz in der Technik und Physik , weil vor allem von drei Betreiber : Gradient, Divergenz und Locken. Die Divergenz Betreiber Maßnahmen Quelle ein Vektorfeld oder Spüle Größenordnung an einem bestimmten Punkt . Obwohl Vektorfelder binden numerische Werte mit Blinkern , ist Divergenz eine skalare Ergebnis. Es ist ein quantitatives Maß für den nach außen gerichteten Fluss in einem Vektorfeld von einer Quelle ausgeht . Divergenz Berechnungen nachweisen kann konzeptionell schwierig zu sein, aber sie sind nicht unmöglich zu meistern . Verständnis der Mathematik
Divergenz mathematischen Ausdruck zu verstehen, zunächst zu prüfen, eine differenzierbare Vektorfunktion v (x , y, z ), wobei x , y und z kartesischen Koordinaten . Ferner sei V1 , V2 und V3 die Komponenten von V sein . Die Divergenz eines Vektorfeldes ist das Punktprodukt zwischen dem Bediener und dem Divergenzvektorfeldfunktion. Die Formel für die Divergenz des Vektorfeldes v kann daher definiert werden als:
div v = ( & part ; v1 /& Teil , x ) + ( & part ; v2 /& part y ) + ( & part ; v3 /& part , z)
Divergenz als partielle Ableitung jeder Komponente in Bezug auf seine kartesischen Koordinatenebene zu verstehen. Punktprodukte ergeben Skalar -Lösungen. Die Divergenz ergibt Betreiber daher eine skalare Lösung aus einer Vektorfeld , was darauf hindeutet div v , um eine richtungs Größenordnung Hinweis sein .
Eine Hauptannahme
Das Grundkonzept zugrunde liegenden Divergenz macht eine große Annahme , daß in Abhängigkeit Charakterisierung einer physikalischen oder geometrischen Eigenschaft , die Werte sind unabhängig von der speziellen Wahl der Koordinaten . Tatsächlich ist dies der Fall . Die nach außen gerichtete Fluß wird angenommen, daß von der Quelle mit relativ einheitlich zu bewegen. Divergenz kann als qualitative Rate für dieses Flussmittel oder Fluss verstanden werden.
Invarianz der Divergenz
Die Werte für div v hängen von den Punkten im Raum und die zugehörige mathematische Funktion . Werte sind invariant gegenüber Koordinatentransformation . Auswahl einer anderen Wahl für die kartesischen Koordinaten x * , y * und z * und entsprechenden Komponenten v1 * , v2 und v3 * * für die Funktion v in der gleichen Gleichung führen. Diese Invarianz der Divergenz bleibt ein wesentlicher Satz mit diesem bestimmten Betreiber zugeordnet
In Bezug auf alle anderen Koordinaten im Vektorfeld und die entsprechenden Funktionskomponenten , bleibt die Divergenz Berechnung die gleiche: . Die Divergenz ist das Punktprodukt zwischen dem Betreiber und dem Vektorfeld , oder die partielle Ableitung der einzelnen Komponenten in Bezug auf seine kartesischen Koordinatenebene .
Gewinner auf die nächste Stufe
Divergenz spielt eine wichtige Rolle in fortgeschrittenen Kalkül . Der Betrieb unterliegt einer der "großen" Integralsätze , die verwendet werden können, um unglaublich komplexe Berechnungen in vernünftiger Probleme zu transformieren. Dieser Vorgang wird als der Divergenzsatz von Gauss bekannt.
Stellen Sie sich eine geschlossene Region begrenzt im Raum, genannt T, mit einem stückweise glatte Oberfläche S für seine Grenze . Angenommen, N ist die äußere Einheitsnormalenvektor der Oberfläche S Lassen Sie die Vektorfunktion F ( x , y , z) sowohl kontinuierlich sein und haben kontinuierlichen ersten partiellen Ableitungen in einigen Domäne mit T. Der Divergenzsatz von Gauß heißt die dreifache Integral die Divergenz F über einem Volumen kann an die Doppelintegral des Skalarprodukts zwischen F und N auf einer Fläche gleichgesetzt werden. So lassen sich komplexe Volumenintegrale in überschaubare Oberflächenintegrale durch ein Verständnis und Extrapolation der Divergenz eines Vektorfeld umgewandelt werden.