Klassifizierung von Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungen beschreiben gerade Linien oder Wohnung mehrdimensionalen Oberflächen. Systeme linearer Gleichungen sind Sätze von linearen Gleichungen . Sie werden in vielen wissenschaftlichen und technischen Disziplinen gefunden. Lineare Gleichungen sind in der Statistik, Maschinenbau, Physik , Finanzen und Wirtschaft eingesetzt. Ein gegebenes System linearer Gleichungen können in eine von drei Kategorien fallen . Für die Zwecke dieses Artikels wird der folgende zweidimensionale System als Beispiel verwendet werden :

4x + 5y = 1
4x - 2G = 2 lineare Gleichungen Nomenklatur

der Rang einer linearen Gleichungssystems ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten der Koeffizientenmatrix des Systems . Die Koeffizienten -Matrix ist ein Gitter von Zahlen, die die Systemvariablen vorausgehen. In unserem Beispiel würde der Koeffizienten -Matrix sein :

4 5

4 -2

Für eine Reihe (oder Spalte) linear unabhängig von einer anderen Reihe zu sein (oder Spalte ) muss es sein, dass eine Reihe ( oder Spalte ) nicht durch eine Linearkombination der anderen Reihe (oder Spalte) hergestellt werden können. Sie sollten nicht in der Lage , mehrere alle Elemente der Reihe 1 sein durch eine einzelne Zahl zu Zeile 2 erhalten Sie können sehen, dass alle Spalten in unserem Beispiel die Koeffizienten -Matrix linear unabhängig sind , da gibt es keine einzige Zahl , die uns erlauben würde , sich zu vermehren 4 bis 5 und -2 zu bekommen. Sie können auch sehen, dass die Zeilen in unserem Beispiel Matrix linear unabhängig sind . Es gibt keine einzige Zahl , dass, wenn multipliziert mit 4 erzeugt 4, und wenn mit 5 multipliziert produziert -2 . Dies bedeutet, dass der Rang von unserem Beispielsystem ist 2.

Die erweiterte Matrix ist eine Kombination der Koeffizienten -Matrix und der Lösungsvektor . In unserem Beispiel würde die erweiterte Matrix sein :

4 5 1

4 -2 2

Weil diese Matrix zwei Reihen , den höchsten Wert der Rang der erweiterten Matrix hat nur sein kann ist 2. Daher ist für dieses Beispiel ist der Rang der erweiterten Matrix gleich dem Rang der Matrix der Koeffizienten.
Erweiterung des Systems

in unserem Beispiel Gleichungssystem gibt es nur zwei Variablen. Die Gleichungen beschreiben Linien in einem zweidimensionalen Raum . Wenn man einen anderen Satz von Variablen hinzuzufügen sind die Gleichungen würde Ebenen im dreidimensionalen Raum beschreiben . Dies kann auf mehrere Dimensionen erweitert werden. Statt darüber nachzudenken, in Systemen mit einer bestimmten Anzahl von Variablen , können wir in Bezug auf ein generisches System mit n Variablen zu denken. Dies ermöglicht uns, die allgemeinen Eigenschaften aller Systeme von Gleichungen , unabhängig von der Anzahl der Variablen im System einzuordnen.
Keine Lösung

Wenn der Rang die Koeffizienten -Matrix ist nicht gleich dem Rang der erweiterten Matrix , gibt es keine Lösung . Es gibt keine eindeutigen Satz von Werten, die in dem System von Gleichungen beschriebenen Anforderungen erfüllt . Das Gleichungssystem nicht gelöst werden kann . Wenn das System nicht gelöst werden kann , wird das System inkonsistent zu sein .
Eine einzigartige Lösung

Es ist eine einzelne, einzigartige Reihe von Lösungen für das Gleichungssystem wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix und beide sind gleich der Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix . Es ist ein einzelner Satz von Werten, die durch das System von Gleichungen beschriebenen Anforderungen erfüllt . Wenn es eine einzigartige Lösung , ist das System der unabhängig zu sein.
Eine unendliche Anzahl von Lösungen

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen , wenn die Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich dem Rang der erweiterten Matrix und beide kleiner als die Anzahl der Zeilen in der Koeffizienten -Matrix sind . Thiere eine unendlich große Menge von Werten, die durch das System von Gleichungen beschriebenen Anforderungen erfüllen . Wenn es eine unendliche Anzahl von Lösungen, ist das System der abhängig zu sein .